フランス王朝を不安定にした不定の疑惑
民主主義は、古くから世界中のほとんどの国々に存在してきた政治制度である。アメリカでは、18世紀後半に憲法が起草され、この政治体制が生まれた。しかし、人々が聞きたがらないかもしれないが、真の民主主義は実際には不可能であり、完全に合理的な方法で実現することはできないかもしれない。
人間の性質はさておき、民主主義を維持し、指導者を選出するために使われているシステムには、実は欠陥があることを数学は示している。人類が民主主義に対して抱いている理想的なビジョンは決して実現できないし、数字は確かに嘘をつかない。
では、なぜ民主主義は不可能なのか？このギャラリーを読んで確かめてみよう。
世界で最も古く、最も単純な投票方法のひとつが「得票順方式」である。つまり有権者に候補者を1人選んでもらい、得票数の多い者が勝つというものである。一見簡単そうに聞こえるが、このシステムには民主主義の公平性に影響を与える固有の問題がある。
14世紀にさかのぼるこのシステムは、イギリスの下院で使用されてきたもので、アメリカを含む44カ国（その多くはイギリスの旧植民地）で現在も普及しており、国政選挙で使用されている。
この方法の問題点は、多くの国民が実際に投票した候補者ではない候補者が当選してしまうことがあることだ。2016年のアメリカ大統領選挙では、得票数が少なかったにもかかわらず、ドナルド・トランプがヒラリー・クリントンを破った。
2000年のアメリカ大統領選挙では、第3党候補のラルフ・ネーダーがアル・ゴアから票を「奪い」、間接的にジョージ・W・ブッシュの勝利を助けた「票割れ」が注目された。得票順方式は有権者の選択表明を制限するため、しばしば結果に歪みが生じる。
得票順方式は、有権者が自分の本当に好きな政党に投票するのではなく、戦略的に投票するよう促すものであり、欠陥のある制度である。この圧力は結局、より大きな政党に権力を集中させることにつながり、最終的には二大政党制以外の何ものでもなくなってしまう。
政治学者のモーリス・デュヴェルジェは、勝者総取りの投票制度は、得票順方式のように、すべて二大政党制へと自然に進化していくと観察している。有権者の選択肢は最小化され、小政党はさらに小さくなるため、真の民主的選択は存在しない。
このシステムに代わるものとして、優先順位付投票制がある。一つの政党だけを選ぶのではなく、有権者は候補者を好みで順位付けする。過半数を獲得する候補者がいなければ、最も得票数の少ない候補者が落選し、その候補者の支持者の第2候補が他の政党に分配される。
この投票方式は「即時決選投票」とも呼ばれ、1人が過半数を獲得するまで、順位に基づいて候補者を順次排除していく。このシステムは、繰り返される選挙を模倣しているが、時間を節約し、有権者の選択をより公平に表すことができる。
優先順位付投票制では、候補者は対立的なキャンペーンを避ける傾向がある。例えば、2013年のミネアポリス市長選では、候補者たちは有権者から二位、三位に選んでもらうため、お互いに友好的で敬意を払っていた。
優先順位付投票制はいくつかの問題を最小限に抑えるが、それでも不完全である。順位再配分の力学により、候補者の成績が悪いと逆説的に有利になるケースもある。
フランスの数学者ニコラ・ド・コンドルセは、多数派の選好を正確に反映する投票制度の構築を目指した社会的選択理論の先駆者である。彼の研究は、フランス革命（公正な代表制に熱心だった時代）に登場し、投票科学の基礎を築いた。
同じ頃、ジャン＝シャルル・ド・ボルダという別のフランス人数学者が、投票者の順位に基づいてポイントを割り当てる順位投票制度を提案した。たとえば、投票者の投票で1位になった候補者には4点、2位には3点といった具合である。
コンドルセはボルダのアプローチを批判し、（候補者数のような）無関係な要素が結果に不公平な影響を与える可能性があると指摘した。
1785年、コンドルセは、個々に一騎打ちで他の候補者を打ち負かす必要があるシステムを提案した。しかし、膨大な数の選挙を行う代わりに、有権者は単純に順位選択投票制度を用いる。勝者は最も高い順位を獲得した者となり、これはより公平な評価となる。
13世紀の修道士ラモン・リュルは、教会の指導者選挙で同様の投票方法を提案した。彼の研究は彼の時代に影響を与えなかったが、2001年に再認識されるようになった。
残念なことに、コンドルセは彼のシステムにパラドックスを発見した。もし十分な数の人々が異なる候補者を等しくランク付けすれば、明確な勝者がいないデッドロックが生じることになる。コンドルセはこの問題を解決する前に亡くなった。
コンドルセの死後150年にわたり、（写真のルイス・キャロルを含む）多くの数学者が完璧な投票法を考案しようと試みた。様々な改良と提案にもかかわらず、コンドルセとボルダが指摘した問題点を完全に解決できたシステムはなかった。
1951年、アメリカの経済学者ケネス・アローは、選挙に3人以上の候補者がいる場合、どの順位投票システムも本質的な公平基準をすべて完璧に満たすことはできないことを証明した。この不可能性定理によって彼はノーベル賞を受賞し、順位選択投票の限界を公式化した。
アローは投票システムに関して、全会一致、非独裁、無制限領域、他律性、無関係な選択肢の独立という5つの条件を提案した。これらのルールは合理的な投票に不可欠であるように思われたが、彼はどのような投票方法もこれらすべてを同時に満たすことができないことを証明した。
アローの基準では、全会一致は、すべての有権者がある候補者を他の候補者よりも好む場合、システムはこの集団的選好を反映していると主張する。
アローの第二の条件である非独裁性は、一人の有権者の選好が結果全体を決定することがないことを保証するものである。この原則は民主主義にとって不可欠であり、一人の投票が決定要因になってはならないからである。そうでなければ、独裁政治になってしまうからだ。
第三の条件である無制限領域とは、すべての人が自分の考える方法で投票することが許され、その投票が無視されることはないというものである。この条件は包括性を保証し、恣意的あるいは偏った意思決定を回避する。
他律性とは、有権者がある選択肢を第二の選択肢よりも好み、第二の選択肢を第三の選択肢よりも好む場合、第一の選択肢を第三の選択肢よりも（論理的に）優先すべきであるというものである。これは、候補者を序列化された階層に置くものである。
この条件とは、候補者を追加したり削除したりしても、既存の選好が変化してはならないというものである。たとえば、ある候補者が2番目の候補者よりも好まれている場合、新しい候補者を加えても投票者の選択に影響を与えるべきではない。この条件は、外部からの選択肢によって事前の順位が乱されることを防ぐ。
アローの証明によれば、彼の5つの条件を満たす順位投票制度は、最終的には独裁者による選好の解決に依存することになり、民主主義の原則そのものを損なうことになる。このように、3人以上の候補者がいる場合、公正な投票制度を実現することは数学的に不可能である。
アローの定理は、彼の5つの条件下では、たった1票が勝利候補を決定する人物（重要な投票者（pivotal voter）として知られる）は、実質的に独裁権力を握っていることを明らかにした。
評価投票法（是認投票のようなもの）として知られる別の投票システムがあり、有権者は自分が支持する候補者すべてを選択することができる。調査によれば、有権者は自分の票が 「無駄になる」ことを恐れることなく複数の候補者を支持できるため、ネガティブキャンペーンを減らし、公平性を高めることができる。
是認投票は、歴史的には1294年から1621年にかけてバチカンの選挙で使われ、国連事務総長の選出にも使われている。特定の状況では有効であるが、大規模な選挙では広く採用されていない。
ケネス・アローは当初、評価システムに懐疑的だったが、最終的にはランク付けされた方法よりも優れている点、特に独裁やパラドックスを回避できる点を認めた。
政治的に関与することは非常に重要であり、人々が世界を変えることができる数少ない方法のひとつである。ウィンストン・チャーチルがかつて言ったように 「民主主義は、試された他のすべての形態を除けば、最悪の政治形態である」。
しかしながら、民主主義は（その複雑さと不完全さを含めて）私たちが持つ最良の選択肢であり続けている。数学的には難しいかもしれないが、民主主義が目指す公平性と代表性の原則は、民主主義を価値あるものにしているのだ。
出典: (Veritasium) (Yale University Press) (Journal of Political Economy) (American Political Science Review) (Britannica)
なぜ民主主義は数学的に不可能なのか
民主主義の理想は実際には夢物語だ
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民主主義は、古くから世界中のほとんどの国々に存在してきた政治制度である。アメリカでは、18世紀後半に憲法が起草され、この政治体制が生まれた。しかし、人々が聞きたがらないかもしれないが、真の民主主義は実際には不可能であり、完全に合理的な方法で実現することはできないかもしれない。
人間の性質はさておき、民主主義を維持し、指導者を選出するために使われているシステムには、実は欠陥があることを数学は示している。人類が民主主義に対して抱いている理想的なビジョンは決して実現できないし、数字は確かに嘘をつかない。
では、なぜ民主主義は不可能なのか？このギャラリーを読んで確かめてみよう。