無限ホテルのパラドックスとは？ -

無限という概念は、私たちの常識では理解しにくく、考え方の限界を広げるものだ。1920年代、ドイツの数学者ダフィッド・ヒルベルトは、無限がもたらす不思議な性質を示すために、「ヒルベルトの無限ホテル」という思考実験を考案した。

無限の部屋を持つホテルがあれば、新しい客をいくらでも受け入れられるように思える。しかし、ヒルベルトの例では、すべての部屋が埋まっていても、新しい客を迎え入れる方法があることが示される。これは直感に反する不思議な現象だ。

この実験は、数の本質について重要な問いを投げかける。無限は本当に「いっぱい」になることがないのか？ もし無限がどこまでも広がるとしたら、より大きな無限が存在するということなのか？

ヒルベルトの無限ホテルが教えてくれる無限の不思議を、このギャラリーでぜひ確かめていただきたい。

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起源 -

デヴィッド・ヒルベルトは、無限についての理解を試すための思考実験として無限ホテルを考案した。無限の部屋を持つ逆説的なホテルというアイデアを創出することで、彼は無限が論理に反する方法でどのように振る舞うかを示した。

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果てしない部屋の数 -

この思考実験を理解するために、ヒルベルトはすべての人に無限の階と部屋が無限に存在するホテルを想像するように求める。しかし、それにもかかわらず、ホテルには勤勉な夜勤のマネージャーがいて、新しい客用に部屋を空けるために常にゲストを再配置しなければならない。

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満室のホテル -

ある晩、ヒルベルトの無限ホテルは無限の数のゲストで満室になっている。しかし、新たな男性旅行者が満室のホテルに到着すると、夜勤のマネージャーは部屋がすべて埋まっているにもかかわらず、彼を断らない。

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温かく迎える -

新しいゲストに部屋を提供するために、夜勤のマネージャーは既存のすべてのゲストを現在の部屋から次の部屋へと移動させる。部屋1のゲストは部屋2に移動し、部屋2のゲストは部屋3に移動し、以下同様に進んでいく。このようにして、各ゲストは現在の部屋「n」から部屋「n+1」へと移動し、最終的に部屋1が新しいゲストのために空くことになる。

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スペースを空けること -

ある晩、40人のゲストを乗せた観光バスが到着し、夜勤のマネージャーは同じ戦略を大規模に適用する。現在のすべてのゲストは部屋「n」から部屋「n+40」へと移動し、最初の40部屋が空くことになる。このように、数学的には、無限は常に有限の数を受け入れることができることを示している。

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無限に大きなバス -

夜勤のマネージャーは、無限の乗客を乗せた無限に大きなバスが到着したとき、さらに大きな問題に直面する。ゲストを有限の数だけ移動させるだけではもはや効果がない。彼は、すべての新しいゲストに部屋を提供するために、より洗練された方法を考案しなければならない。

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偶数番号の部屋 -

問題を解決するために、夜勤のマネージャーは既存のすべてのゲストを部屋「n」から部屋「2n」へと移動させる。これにより、すべてのゲストは最終的に偶数番号の部屋に配置され、奇数番号の部屋はすべて空き部屋となり、無限の乗客がその部屋を使えるようになる。

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好調なビジネス -

新しいゲストが絶えず到着しているにもかかわらず、無限ホテルの収益は逆説的に同じままである。ゲストの数が常に無限であるため、ホテルの夜間収益も常に無限である。

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無限のバスが無限に到着すること -

そして、またある晩に、夜勤のマネージャーは前例のない挑戦に直面する。無限の数の無限に大きなバスが到着し、それぞれが無限の数の乗客を乗せている。この状況は新たな複雑さを呈し、さらに高度な数学的アプローチが必要となる。

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素数 -

この圧倒的なゲストの流入に対応するために、夜勤のマネージャーは素数に目を向ける。基本的に、素数は1と自分自身以外の数で割り切れないめ、5、13、47、89などの数字が含まれることになる。

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ユークリッド数学 -

素数を考慮した後、夜勤のマネージャーは古代ギリシャの数学的事実を思い出す。それは、数学者ユークリッドが素数が無限であることを証明したものであり、彼はそれらを部屋の割り当て方法として使用し、重複を防ぐ方法を思いついた。

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最初の素数は2である -

無限ホテルの既存のゲストは、最初の素数である2を使用して再配置される。部屋「n」にいる各ゲストは、部屋「2^n」（2の部屋番号乗）に移動する。この移動により、既存のゲストは指数関数的に広がり、大量の空きスペースが生まれる。

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最初のバスの乗客を乗せること -

最初の無限バスから降りた新しいゲストは、2番目の素数である3を基に部屋が割り当てられる。座席番号「n」にいる乗客は、部屋「3^n」（3の座席番号乗）に移動する。この方法により、すでに部屋にいるゲストと重複することなく、適切に部屋が割り当てられる。

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繰り返しのパターン -

その後に到着する各バスは、リストにある次の素数を使用して同じルールを適用する。2番目のバスは素数5を使用し、3番目のバスは素数7、4番目のバスは素数11、そしてその後も続いていく。この方法により、すべてのバスからのゲストは、無限に続く間、重複することなくユニークな部屋を割り当てられる。

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部屋の重複なし -

この戦略がうまく機能する理由は、素数が独自の特性を持っているからである。各部屋の割り当てがこれらの素数の指数に基づいているため、どんなに多くの新しいゲストが到着しても、2人のゲストが同じ部屋に入ることは決してない。この方法は無限に続けることができる。

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空の部屋 -

驚くべきことに、このシステムではすべての部屋が埋まるわけではない。例えば、部屋6のような番号は空いたままで、なぜならそれは素数のべき乗ではないからである。これは無限のもう一つの奇妙な特性を示しており、無限に数を広げても隙間が残ることがあるという点である。

素数のべき乗:素数を何度も掛け合わせて得られる数のこと

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可算無限 -

無限ホテルは可算無限の範囲内で運営されており、つまり、各部屋と各ゲストは順番に番号を付けることができる（1, 2, 3, など）。この種類の無限はアレフ・ゼロ（ℵ₀）として知られ、無限の中で最も小さなレベルであり、構造化された手法を用いることで管理可能である。

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無限の分類 -

ドイツの数学者ゲオルク・カントールは、無限に対する私たちの理解を革新し、すべての無限が同じではないという考えを提唱した。彼は、可算無限（ホテルの部屋のようなもの）が実数の無限のような非可算無限とは異なることを示した。

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高次の順序 -

ヒルベルトのホテルで使われている構造化された方法は、ホテルの無限が可算であるからこそ機能する。もしホテルが実数（負の数や小数も含む）を扱っていた場合、同じ戦略はうまくいかない。なぜなら、実数は整数のように順番にリスト化することができないからである。

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実数 -

もしホテルが実数を部屋の割り当てとして受け入れた場合、事態ははるかに混乱することになるだろう。分数、円周率のような無理数、さらには負の数にまで部屋が割り当てられることになり、極めて複雑で不可能に近い予約システムが生まれる。

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ゲストがチェックアウトするとどうなるか？ -

もし無限のゲストが突然チェックアウトした場合、ホテルは無限のままで、今度は無限の空き部屋ができることになる。夜勤のマネージャーは残りのゲストを再配置するために彼らを戻すことができるが、（奇妙に聞こえるかもしれないが）部屋の数は依然として無限である。

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それが重要な理由 -

無限ホテルは、単なる面白い逆説を超えて、無限の数学的特性を理解する上で重要な役割を果たしている。これにより、学生、哲学者、数学者は無限集合に関する基本的な概念を把握し、無限がどのように奇妙な方法で機能するかを理解することができる。

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現実世界の応用 -

これは思考実験に過ぎないが、ヒルベルトのホテルの背後にある原則は、コンピュータサイエンス、物理学、宇宙論などの分野で実際の応用がある。無限のメモリ割り当てや膨張する宇宙の性質といった概念は、無限がヒルベルトのホテルでどのように扱われるかに直接関連している。

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哲学的影響 -

ヒルベルトのホテルは、宇宙論のような分野にも影響を与えている。それは、宇宙の構造や実際の無限の概念についての理解に挑戦し、現実と無限の本質についての議論を促す。

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ビッグバン -

科学者たちは、約138億年前にビッグバンによって宇宙が創造されたと主張し、証明している。ヒルベルトのホテルを用いて、彼らは宇宙が（無限のゲストがホテルから出入りするように）永遠に自ら崩壊し、再び膨張する可能性を考えている。この過程は、何兆年もの周期で繰り返される「すすぎと繰り返し（rinse and repeat）」のようなサイクルである。

ビッグバン:宇宙が約138億年前に非常に高温・高密度の状態から膨張を始め、現在のような広がりを持つ宇宙が形成されたとされる理論的な出来事

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有限の宇宙 -

一部の哲学者や神学者は、ヒルベルトのホテルから生じる逆説が、現実において実際の無限は存在できないことを示唆していると主張し、これにより宇宙には有限の始まりがあるべきだと結論づけている。この推論は、創造者の存在についての神学的議論にも利用されている。

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量子力学 -

研究者たちは、ヒルベルトのホテルと量子力学の類似点を探求しており、特に宇宙における無限次元の確立を試みている。この類推は、複雑な量子システムやそれを記述する数学的構造を理解するのに役立つ。

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資源配分 -

この逆説は、資源管理のメタファーとしても機能する可能性がある。無限の資源が常に再配分され、終わりのない需要を満たす方法を示している。完全に理論的ではあるが、効率性や最適化についての議論を促すきっかけとなる。

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無限との格闘 -

無限ホテルは、すべての人の直感が有限の経験に基づいて形作られていることを思い出させ、真の無限を理解することが難しい理由を示している。私たちは無限を数学的に操作することができるが、その真の性質を把握することは知的な挑戦である。このため、ヒルベルトのホテルはその概念が生まれてから1世紀が経った今でも、思考者たちを魅了し続けている。

出典: (TED-Ed) (Britannica) (ScienceABC)

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